Question

4．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图1所示，A点坐标为（-6，0），B点的坐标为（4，0），点D为BC的中点，经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线AC上方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APC的面积最大？求出此时P点的坐标和△APC的最大面积；
（3）已知M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，点M由A以每秒1.2个单位向C出发，点N由B以每秒1个单位的速度向A运动，两点同时出发，当一个点停止运动时另一个点也停止运动，连接MN、DM、DN，问是否存在t使得DM平分∠CMN的同时DN也平分∠MNB？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）先利用面积最大这一特点确定出点P的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论；
（2）先判断出∠MDN=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，进而得出∠MDN=∠ABC=∠ACB，利用三角形的内角和即可得出∠CDM=∠DNM，进而判断出△CDM∽△BND，得出比例式，最后代入即可确定出时间．

解答 解：（1）∵经过点A（-6，0）、B（4，0）、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8．
（2）∵抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8②．
∴C（0，8），
∵A（-6，0），
∴直线AC解析式为y=$\frac{4}{3}$x+8，
∴作直线l，使l∥AC，设直线l解析式为y=$\frac{4}{3}$x+m①，
当直线l和抛物线只有一个交点时，△APC的面积最大，
联立①②化简得，x²+6x-（24-3m）=0，
∴△=36+4（24-3m）=0，
∴m=11，
∴x=-3，
∴P（-3，7），
如图1，

过点P作PE⊥AE于E，
∴AE=3，PE=7，OE=3，OC=8，
∵直线AC解析式为y=$\frac{4}{3}$x+8，
∴F（-3，4），
∴PF=PE-EF=3，
∴S_{△APC的最大}=S_△APF+S_△CPF=$\frac{1}{2}$×PF×AE+$\frac{1}{2}$×PF×OE=$\frac{1}{2}$×PF×（AE+OE）=$\frac{1}{2}$×3×6=9．
即：P点的坐标为（-3，7），△APC的最大面积为9．
（3）如图，

∵DM平分∠CMN，
∴∠DMN=∠DMC=$\frac{1}{2}$∠CMN
∵DN也平分∠MNB，
∴∠DNB=∠DNM=$\frac{1}{2}$∠BNM，
在△AMN中，180°-∠BAC+∠CMN+∠BNM=360°，（三角形的外角和为360°）
∴∠CMN+∠BNM=180°+∠BAC
在△DMN中，∠MDN=180°-（∠DMN+∠DNM）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠CMN+∠BNM）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠BAC）
=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵A（-6，0），B（4，0），C（0，8），
∴AC=10，AB=10，BC=4$\sqrt{5}$
∴AB=AC，
连接AD，
∵点D是BC中点，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，AD⊥BC
∴∠ABC=∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠MDN=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ABC=∠ACB=∠MDN，
∵∠DMN=∠DMC，
∴∠CDM=∠DNM，
∵∠DNB=∠DNM，
∴∠CDM=∠DNB，
∵∠ACB=∠ABC，
∴△CDM∽△BND，
∴$\frac{CD}{BN}=\frac{CM}{BD}$，
由运动知，BN=t，AM=1.2t，
∴CM=10-AM=10-1.2t，
∵点D是BC中点，且BC=4$\sqrt{5}$
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{t}=\frac{10-1.2t}{2\sqrt{5}}$，
∴3t²-25t+50=0．
∴t=5或t=$\frac{10}{3}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数的极值，三角形的面积计算方法，三角形相似的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，解本题的关键是∠ABC=∠ACB=∠MDN，得出△CDM∽△BND，是解本题的难点，是一道较好的中考常考题．