如图1.抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A.B两点.与y轴交于C点.点M是抛物线的顶点.直线y=-2x+4与x.y轴分别交于E.F两点．(1)求点A.C.M的坐标,(2)如图2.点P为第一象限内抛物线上一点.过点P作直线AC的垂线.垂足为Q.求线段PQ的最大值,小问中.当线段PQ的长度取得最大值时.将抛物线沿直线EF平移.平移后抛物线上点A.C.M的对应点分别为点A′.C′.M′.在平移过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．如图1，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点M是抛物线的顶点，直线y=-2x+4与x、y轴分别交于E、F两点．
（1）求点A、C、M的坐标；
（2）如图2，点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为Q，求线段PQ的最大值；
（3）在第（2）小问中，当线段PQ的长度取得最大值时，将抛物线沿直线EF平移，平移后抛物线上点A、C、M的对应点分别为点A′、C′、M′，在平移过程中，是否存在△A′C′P是直角三角形，若存在，求出点M′的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）分别令x=0或y=0求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用配方法求出顶点坐标即可．
（2）如图2中，过点P作PN∥y轴交AC于N，则PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PN，求出PN的最大值即可．
（3）假设M′（1+m，4-2m），A′（3+m，-2m），C′（m，3-2m），则有A′C′²=18，A′P²=（$\frac{3}{2}$+m）²+（2m+$\frac{15}{4}$）²，C′P²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（2m+$\frac{3}{4}$）²，
分三种情形，利用勾股定理列出方程即可解决问题．

解答解：（1）对于抛物线y=-x²+2x+3，
令x=0则y=3，∴点C坐标（0，3），
令y=0则-x²+2x+3=0，解得x=-1或3，
∴B（-1，0），A（3，0），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点M坐标（1，4）．
∴A（3，0），C（0，3），M（1，4）．

（2）如图2中，过点P作PN∥y轴交AC于N，则PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PN，

设P（a，-a²+2a+3），
∵直线AC解析式为y=-x+3，
∴N（a，-a+3），
∴PN=-a²+3a（0＜a＜3），
∵a=-1＜0，
∴当a=$\frac{3}{2}$时，PN的最大值=$\frac{9}{4}$，此时PQ的最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．

（3）∵直线EF的解析式为y=-2x+4，
∴E（2，0），F（0，4），$\frac{OF}{OE}$=2，
∴直线EF上任意一点，横坐标每增大1个单位，纵坐标则减小2个单位，
∴可以假设M′（1+m，4-2m），A′（3+m，-2m），C′（m，3-2m），
则有A′C′²=18，A′P²=（$\frac{3}{2}$+m）²+（2m+$\frac{15}{4}$）²，C′P²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（2m+$\frac{3}{4}$）²，
①当∠C′A′P=90°时，∵A′C′²+A′P²=C′P²，
∴18+（$\frac{3}{2}$+m）²+（2m+$\frac{15}{4}$）²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（2m+$\frac{3}{4}$）²，
解得m=-$\frac{7}{4}$，
∴M′₁（-$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{2}$）．
②当∠A′CP=90°时，∵A′C′²+C′P²=A′P²，
∴18+（m-$\frac{3}{2}$）²+（2m+$\frac{3}{4}$）²=（$\frac{3}{2}$+m）²+（2m+$\frac{15}{4}$）²，
解得m=$\frac{1}{4}$，
∴M′₂（$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{2}$）．
③当∠A′PC′=90°时，∵A′P²+PC′²=A′C′²，
∴（$\frac{3}{2}$+m）²+（2m+$\frac{15}{4}$）²+（m-$\frac{3}{2}$）²+（2m+$\frac{3}{4}$）²=18，
解得m=$\frac{-18±3\sqrt{31}}{20}$，
∴M′₃（$\frac{2+3\sqrt{31}}{20}$，$\frac{58-3\sqrt{31}}{10}$），M′₄（$\frac{2-3\sqrt{31}}{20}$，$\frac{58+3\sqrt{31}}{10}$），
综上所述，点M′的坐标为M′₁（-$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{2}$）或M′₂（$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{2}$）或M′₃（$\frac{2+3\sqrt{31}}{20}$，$\frac{58-3\sqrt{31}}{10}$）或M′₄（$\frac{2-3\sqrt{31}}{20}$，$\frac{58+3\sqrt{31}}{10}$）．