Question

如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若E是弧AC的中点，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：证明题

分析：（1）由OA=OC得∠OCA=∠OAC，由AC平分∠DAB得∠DAC=∠OAC，则∠ADC=∠OCA，根据平行线的判定得OC∥AD，由于AD⊥CD，根据平行线的性质得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理即可得到CD是⊙O的切线；
（2）连结OE，由E是弧AC的中点，根据圆周角定理得∠DAC=∠ECA，而∠DAC=∠OAC，则∠ECA=∠OAC，于是可判断EC∥OA，加上OC∥AE，可判断四边形OAEC为平行四边形，由于OA=OC，则可判断四边形OAEC为菱形，所以CE=OC=OE=2，△OCE都为等边三角形，得到∠COE=∠OCE=60°，易得∠DCE=30°，
在Rt△DCE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DE=1，DC=

3

，所以S_△DCE=

3

2

，由于弓形AE的面积=弓形CE的面积，所以S_阴影=S_△DCE=

3

2

解答：（1）证明：∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠ADC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结OE，如图，
∵E是弧AC的中点，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠OAC，
∴∠ECA=∠OAC，
∴EC∥OA，
而OC∥AE，
∴四边形OAEC为平行四边形，
而OA=OC，
∴四边形OAEC为菱形，
∴CE=OC=OE=2，
∴△OCE都为等边三角形，
∴∠COE=∠OCE=60°，
而∠DCO=90°，
∴∠DCE=30°，
在Rt△DCE中，CE=2，
∴DE=

1

2

CE=1，DC=

3

DE=

3

，
∴S_△DCE=

1

2

•1•

3

=

3

2

，
∵AE弧=CE弧，
∴弓形AE的面积=弓形CE的面积，
∴S_阴影=S_△DCE=

3

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形的面积公式．