Question

【题目】如图，中，点是边上一个动点，过作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长；

（3）当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）当在的中点时，四边形是矩形，理由见解析

【解析】

（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可求得OE=OC=OF；
（2）利用勾股定理可求得EF的长，再结合（1）的结论可求得OC的长；
（3）只要保证四边形AECF是平行四边形即可，则可知O为AC的中点时，满足条件．

解：（1）证明：∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

同理可得，

∴；

（2）解：∵、分别平分和，

∴，

∴，

∴；

（3）解：当在的中点时，四边形是矩形，

理由如下：

当为中点时，则有，

∴四边形为平行四边形，

∵，

∴四边形为矩形．