题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（-5，0），且 $数学公式$ ，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；
（3）当P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
∴n-3=0，3m-12=0，
n=3，m=4，
∴A的坐标是（0，4），C的坐标是（3，0）；
（2）

∵B（-5，0），
∴OB=5，
①当0≤t＜ $\text{[math]}$ 时，P在线段OB上，如图1，
∵OP=5-2t，OA=4，
∴△POA的面积S= $\text{[math]}$ ×OP×AP= $\text{[math]}$ ×（5-2t）×4=10-4t；
②当t= $\text{[math]}$ 时，P和O重合，此时△APO不存在，即S=0；
③当t＞ $\text{[math]}$ 时，P在射线OC上，如备用图2，
∵OP=2t-5，OA=4，
∴△POA的面积S= $\text{[math]}$ ×OP×AP= $\text{[math]}$ ×（2t-5）×4=4t-10；
（3）当P在线段BO上运动时，在y轴上存在点Q，使△POQ与△AOC全等，
①当BP=1，OQ=3时，△POQ和△AOC全等，
此时t= $\text{[math]}$ ，Q的坐标是（0，3）；
②当BP=2，OQ=4时，△POQ和△AOC全等，
此时t= $\text{[math]}$ =1，Q的坐标是（0，4）；
③当BP=5+3=8，OQ=4时，△POQ和△AOC全等，
此时t= $\text{[math]}$ =4，Q的坐标是（0，4）；
④当BP=5+4=9，OQ=3时，△POQ和△AOC全等，
此时t= $\text{[math]}$ ，Q的坐标是（0，3）．
分析：（1）根据偶次方和算术平方根的非负性得出n-3=0，3m-12=0，求出即可；
（2）分为三种情况：当0≤t＜ $\text{[math]}$ 时，P在线段OB上，②当t= $\text{[math]}$ 时，P和O重合，③当t＞ $\text{[math]}$ 时，P在射线OC上，求出OP和OA，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）分为四种情况：①当BP=1，OQ=3时，②当BP=2，OQ=4时，③当BP=5+3=8，OQ=4时，④当BP=5+4=9，OQ=3时，求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，偶次方和算术平方根的非负性，三角形的面积，坐标与图形性质等知识点的综合运用，关键是求出符合条件的所有情况，是一道比较容易出错的题目．