Question

如图所示，已知：点A（0，0），B（

3

，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使其一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA₁B₁，第2个△B₁A₂B₂，第3个△B₂A₃B₃，…，则①∠CBO=

 

度；②A₅B₅=

 

．

Answer 1

分析：①利用正切函数求得∠CBO的度数．
②首先过点A₁作A₁E垂直BC于点E，并设AE=EB₁=x．不难证得△EA₁B∽△ACB，根据对应边成比例，求得x的值．再利用同样的原理求得，第2个△B₁A₂B₂的边长，第3个△B₂A₃B₃边长为，…直至第5个等边三角形的边长．

解答：解：①∵tan∠CBO=

AC

AB

=

1

3

=

3

3

∴∠CBO=30°
②如图，过A₁作A₁E垂直BC于点E
设AE=EB₁=x
∵在△ABC中，A₁E∥OC
∴△EA₁B∽△ACB
∴

A1E

CA

=

BE

BA

，即

3 x

1

=

3 - x

3

解得x=

3

4

所以△AA₁B₁的边长为

3

2

同理，第2个△B₁A₂B₂的边长为

3

4

，第3个△B₂A₃B₃边长为

3

8

，…
所以第5个等边三角形的边长等于

3

32

故答案为30，

3

32

点评：本题是一道一次函数的综合题．解决本题的关键是恰当添加辅助线，并最计算过程中注意根据第1三角形的边长，第2个△B₁A₂B₂的边长，第3个△B₂A₃B₃边长为，…总结出规律．