Question

如图，在平面直角坐标系中xOy中，一次函数y=

5

4

x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F，是否存在这样的点E，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得m的值和直线的解析式，进而得出C点坐标；
（2）根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；
（3）存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．如答图1所示，过点E作EG⊥x轴于点G，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积．注意：符合要求的E点有两个，如答图1所示，不要漏解．

解答：解：（1）∵y=

5

4

x+m经过点（-3，0），
∴0=-

15

4

+m，
解得：m=

15

4

，
∴直线解析式为：y=

5

4

x+

15

4

，
C（0，

15

4

）；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），
∴另一交点为B（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），
∵抛物线经过C（0，

15

4

），
∴

15

4

=a•3（-5），
解得a=-

1

4

，
∴抛物线解析式为y=-

1

4

x²+

1

2

x+

15

4

；

（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则AC∥EF且AC=EF．如答图1，

（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，
在△CAO和△EFG中

∠COA=∠EGF ∠GFE=∠CAO AC=EF

，
∴△CAO≌△EFG（AAS），
∴EG=CO=

15

4

，
即y_E=

15

4

，
∴

15

4

=-

1

4

x_E²+

1

2

x_E+

15

4

，
解得x_E=2（x_E=0与C点重合，舍去），
∴E（2，

15

4

），
S_?ACEF=

15

2

；
（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，
-

15

4

=-

1

4

x²+

1

2

x+

15

4

，
解得：x=1±

31

，（负数舍去），则x=1+

31

，
可得E′（

31

+1，-

15

4

），
S_?ACE′F′=

15 31 +105

4

．

点评：本题考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的运算、平行四边形、全等三角形等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求．