Question

【题目】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为2，CF＝1，求的长（结果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF⊥AC；

（2）根据圆周角定理得出BE⊥AC，证得BE∥DF，即可根据三角形相似求得EC=2，根据三角形中位线的性质得出AC=4，即可得出AE=EC，进一步证得△ABC是等边三角形，即可得出∠BOD=60°，根据弧长公式即可得出结论．

（1）证明：连接OD，如图所示．

∵DF是⊙O的切线，D为切点，

∴OD⊥DF，

∴∠ODF＝90°．

∵BD＝CD，OA＝OB，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∴∠CFD＝∠ODF＝90°，

∴DF⊥AC．

（2）连接BE，

∵AB是直径，

∴BE⊥AC，

∵DF⊥AC，

∴，

∵FC＝1，

∴EC＝2，

∵OD＝AC＝2，

∴AC＝4，

∴AE＝EC＝2，

∴AB＝BC，

∵AB＝AC＝4，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵OD∥AC，

∴∠BOD＝∠BAC＝60°，

∴的长：．