Question

已知两个反比例函数y=

k

x

（k＞0）和y=

6

x

在第一象限内的图象如图所示，点P是y=

6

x

图象上任意一点，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂足分别为C，D．PC、PD分别交y=

k

x

的图象于点A，B．
（1）求证：△ODB与△OCA的面积相等；
（2）记S=S_△OAB-S_△PAB，当k变化时，求S的最大值，并求当S取最大值时△OAB的面积．

Answer 1

分析：（1）直接根据反比例函数系数k的几何意义进行解答即可；
（2）设出P点坐标，进而可得出A、B两点坐标，由反比例函数系数k的几何意义可知S=S_△OAB-S_△PAB=S_{△四边形PBOA}-2S_△PAB，再把A、B、P三点的坐标代入即可．

解答：解：（1）∵点AB均是反比例函数y=

k

x

（k＞0）上的点，PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S_△ODB=S_△OCA=

k

2

，即△ODB与△OCA的面积相等；

（2）设P（x，

6

x

），则A（x，

k

x

），B（k，

6

x

），
∵点P在反比例函数y=

6

x

的图象上，
∴S_矩形PDOC=6，
∵S_△ODB=S_△OCA=

k

2

，
∴S_{四边形PBOA}=S_矩形PDOC-（S_△ODB+S_△OCA）=6-k，
∴S=S_△OAB-S_△PAB=S_{△四边形PBOA}-2S_△PAB=6-k-2×

1

2

（

6

x

-

k

x

）（x-

kx

6

）=k-

k2

6

，
∴当k=

3

2

时S有最大值，S_最大=

3

2

-

( 3 2 )2

6

=

9

8

；
当k=

3

2

时，S_△PAB=

1

2

（

6

x

-

k

x

）（x-

kx

6

）=

29

32

，
∴S_△OAB=S+S_△PAB=

9

8

+

29

32

=

65

32

．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，树脂反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．