Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，在射线PA上截取PD=PC，连接CD，并延长交⊙O于点E。
（1）求证：∠ABE=∠BCE；
（2）当点P在AB的延长线上运动时，判断sin∠BCE的值是否随点P位置的变化而变化，提出你的猜想并加以证明。

Answer 1

解：（1）∵PD=PC， ∴∠PDC=∠PCD， ∵PC切⊙O于点C， ∴∠PCD=∠E， ∵∠ABE=∠PDC-∠E，∠BCE=∠PCD-∠PCB， ∴∠ABE=∠BCE；
（2）猜想：sin∠BCE的值不随点P位置的变化而变化， 证明：如图，连接AE， ∵∠ABE=∠BCE，∠BCE=∠A， ∴∠ABE=∠A， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠BCE=∠A=45°， ∴sin∠BCE=sin45°=， ∴sin∠BCE的值不随点P位置的变化而变化。