Question

如图，点P为x轴正半轴上的一个点，过点P作x轴轴的垂线，交函数的图象于点A，交函数的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交于点c，边接AC．
（1）当点P的坐标为（1，0）时，求△ABC的面积；
（2）当点P的坐标为（1，0）时，在y轴上是否存在一点Q，使A、O、Q三点为顶点的三角形△QAO为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）请你连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．

Answer 1

解：（1）当当点P的坐标为（1，0）时，点A、B的横坐标为1，
∵点A在反比例函数y=上，点B在反比例函数y=上，
∴点A（1，1），点B（1，4），
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为4，
又∵点C在y=上，
∴点C的坐标为（，4），
∴AB=3，BC=，
∴S_△ABC=×BC×AB=；
（2）如图①所示：OA==，
①若OA=OP，点P位于P₁或P₂位置，此时P₁（0，-），P₂（0，）；


②若AP=AO，点P位于P₃位置，此时P₃（0，2）；
③若PO=PA，点P位于P4位置，此时P₄（0，1）；
（3）过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，如图②所示：

∵点P的坐标为（t，0），
∴点A的坐标为（t，），点B（t，），点C（，），
∴S_△OAC=S_矩形CDOE+S_梯形AFEC-S_△OCD-S_△OAF=1+（+）×（t-）--=；
故△OAC的面积不随t的值的变化而变化．
分析：（1）当点P的坐标为（1，0）时，点A、B的横坐标为1，分别代入解析式，求出A、B的坐标，由点B的坐标可得点C的纵坐标，代入y=，可得点C的坐标，表示出BC、AB的长度后，即可得出△ABC的面积．
（2）先求出OA的长度，然后分情况讨论，①OA=OP，②AP=AO，③PO=PA，分别得出点Q的坐标即可．
（3）根据题意可得点A的坐标为（t，），点B（t，），点C（，），过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，根据S_△OAC=S_矩形CDOE+S_梯形AFEC-S_△OCD-S_△OAF，表示出示出△OAC的面积，即可得出答案．
点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了反比例函数的k的几何意义，梯形的面积及等腰三角形的判定，解答本题的关键是分类讨论思想及数形结合思想的综合运用，难度较大．