Question

如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P，Q两点．
（1）求证：∠ABP=∠ABQ；
（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．

Answer 1

（1）证明：如图，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为C，D．
设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）．
设直线PQ的函数解析式为y=kx+t，并设P，Q的坐标分别为（x_P，y_P），（x_Q，y_Q）．由，
得，
于是，即．
于是=．，
又因为，所以．
因为∠BCP=∠BDQ=90°，
所以△BCP∽△BDQ，
故∠ABP=∠ABQ；

（2）解：设PC=a，DQ=b，不妨设a≥b＞0，由（1）可知
∠ABP=∠ABQ=30°，BC=，BD=，
所以AC=，AD=．
因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ．
于是，即，
所以．
由（1）中，即，所以，
于是可求得．
将代入，得到点Q的坐标（，）．
再将点Q的坐标代入y=kx+1，求得．
所以直线PQ的函数解析式为．
根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为或．
分析：（1）利用抛物线的图象上点的坐标特征，待定系数法球函数解析式，根与系数的关系和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用（1）中已知与结论，继续由相似三角形，根与系数的关系、函数解析式求得结果．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质、根与系数的关系、待定系数法求函数解析式以及对称解决问题．