Question

已知在平面直角坐标系中，过点P（0，2）任意作一条与抛物线y=ax²（a＞0）交于两点的直线，设交点分别为A，B，若∠AOB=90°．
（1）判断A，B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；
（2）确定抛物线y=ax²（a＞0）的解析式．

Answer 1

解：（1）A，B两点纵坐标的乘积为一个确定的值，理由如下：
设直线AB的解析式为y=kx+2．
由，得ax²-kx-2=0 ③．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，
则x₁，x₂是方程③的两个实数根．
所以x₁+x₂=，x₁•x₂=-，
所以y₁•y₂=a•a=a²•（x₁•x₂）²=a²•（-）²=4；
所以A，B两点纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值；

（2）作AM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠AOM=∠OBN，
∴Rt△AOM∽Rt△OBN，
∴=，
∴=，即-x₁•x₂=y₁•y₂，
∴-（-）=4，解得a=．
所以抛物线的解析式为y=x²．
分析：（1）设过点P（0，2）的直线AB的解析式为y=kx+2，由，得ax²-kx-2=0③，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，根据一元二次方程根与系数的关系，可知x₁，x₂是方程③的两个实数根，且x₁+x₂=，x₁•x₂=-，进而求出y₁•y₂=4，从而说明A，B两点纵坐标的乘积是一个确定的值；
（2）作AM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，先由∠AOB=90°，根据平角的定义得出∠AOM+∠BON=90°，由同角的余角相等得出∠AOM=∠OBN，根据两角对应相等的两三角形相似，证明Rt△AOM∽Rt△OBN，得到=，将A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点的坐标代入，得出-x₁•x₂=y₁•y₂，即-（-）=4，解方程求出a=，从而得到抛物线的解析式．
点评：本题考查了二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定等知识，综合性较强，有一定难度．