Question

已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²-bx+c（b＞0）的图象经过点A（-1，b），与y轴相交于点B，且∠ABO的余切值为3．
（1）求点B的坐标；
（2）求这个函数的解析式；
（3）如果这个函数图象的顶点为C，求证：∠ACB=∠ABO．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得b=1+b+c，可得c=-1，从而得出点B的坐标；
（2）过点A作AH⊥y轴，垂足为点H．由∠ABO的余切值为3，∴cot∠ABO=

BH

AH

=3，而AH=1，可得BH=3．又BO=1，可得HO=2，b=2，从而得出函数的解析式．
（3）由y=x²-2x-1=（x-1）²-2，得顶点C的坐标为（1，-2）．根据已知可证明∴△ABC∽△AOB，从而得出∠ACB=∠ABO．

解答：解：（1）根据题意，得b=1+b+c．
∴c=-1．
∴B（0，-1）；

（2）过点A作AH⊥y轴，垂足为点H．
∵∠ABO的余切值为3，∴cot∠ABO=

BH

AH

=3．
而AH=1，∴BH=3．
∵BO=1，∴HO=2．
∴b=2．
∴所求函数的解析式为y=x²-2x-1；

（3）由y=x²-2x-1=（x-1）²-2，得顶点C的坐标为（1，-2）．
∴AC=2

5

，AB=

10

，BC=

2

，AO=

5

，BO=1．
∴

AC

AB

=

AB

AO

=

BC

BO

=

2

．
∴△ABC∽△AOB．
∴∠ACB=∠ABO．

点评：本题考查了二次函数综合题，难度一般，关键是掌握相似三角形的证明方法．