Question

如图，已知△ABC中，O为BC的中点．
（1）作出图中△ABC绕点O顺时针旋转180°后的图形△A′B′C′，请判断四边形AB′A′C′的形状，并证明你的结论；
（2）按照（1）中的方法作图，当△ABC满足什么条件时，四边形AB′A′C′是矩形、菱形或正方形？证明你的结论．

Answer 1

考点：作图-旋转变换

专题：

分析：（1）连接AO并延长至A′，使A′O=AO，点B的对称点B′与点C重合，点C的对称点C′与点B重合，然后顺次连接即可；再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明；
（2）根据矩形、菱形、正方形的定义以及判定方法解答并证明．

解答：解：（1）△A′B′C′如图所示，
∵O为BC的中点，
∴BO=CO，
又∵A′O=AO，
∴四边形AB′A′C′是平行四边形；

（2）当∠A=90°时，四边形AB′A′C′是矩形，
AB=AC时，四边形AB′A′C′是菱形，
∠A=90°且AB=AC时，四边形AB′A′C′是正方形．
证明如下：∵∠A=90°，
∴∠A′=90°，
又∵∠AB′A′=∠AC′A′，
∴∠AB′A′=∠AC′A′=

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×180°=90°，
∴?AB′A′C′是矩形；
∵AB=AC，点O是BC的中点，
∴AA′⊥B′C′，
∴?AB′A′C′是菱形，
由上证明可知，∠A=90°时，?AB′A′C′是矩形，
AB=AC时，?AB′A′C′是菱形，
∴∠A=90°且AB=AC时，?AB′A′C′既是矩形也是菱形，
即，四边形AB′A′C′是正方形．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，主要利用了旋转变换的性质，矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握各图形的定义是解题的关键．