Question

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）。

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O₁、A₁、C₁、B₁，得到如图2的梯形O₁A₁B₁C₁，设梯形O₁A₁B₁C₁的面积为S，A₁、B₁的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），用含S的代数式表示，并求出当S=36时点A₁的坐标；
（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）对称轴：直线x=1； 解析式：或； 顶点坐标：M（1，）； （2）由题意得， 3， 得：①， ， 得：②， 把②代入①并整理得：（S＞0）， 当s=36时，，解得：， 把代入抛物线解析式得， ∴点A1（6，3）； （3）存在， 易知直线AB的解析式为， 可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为， ∴BD=5，DE=，DP=5-t，DQ=t， 当PQ∥AB时，， 得， 下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G， ①当0<时，如图1-1， ∵△FQE∽△FAG， ∴∠FGA=∠FEQ， ∴∠DPQ=∠DEB， 易得△DPQ∽△DEB， ∴， ∴得， ∴（舍去）； ②当时，如图1-2， ∵△FQE∽△FAG， ∴∠FAG=∠FQE， ∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD， ∴∠DQP=∠DBE易得△DPQ∽△DEB， ∴， ∴， ∴， 当秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形 与直线PQ、直线|AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似。