Question

如图，⊙O是RtΔABC的外接圆，∠ABC=90⁰，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E。

求证：（1） ∠BCA=∠BAD；    

      （2） 求DE的长；   

      （3） 求证BE是⊙O的切线

Answer 1

(1)∵BD=BA

∴ ∠BDA=∠BAD

∴ ∠BCA=∠BDA(圆周角定理）

    ∴ ∠BCA=∠BAD  

   (2) ∵∠BDA=∠CAB    ∠BDE=∠CAB=90⁰

      ∴ ΔBED∽ΔCBA

                                  

  (3) 、连结OB、OD

  ∵AB=DB   OB=OB   OA=OD

∴ ΔABO≌ΔDBO(SSS)       ∴∠DBO=∠ABC

∵ ∠ABO=∠OAB=∠BDC   

 ∴ ∠DBO=∠BDC   

∴ OB∥ED

∵ BE⊥ED       ∴BE⊥BO

∴ OB⊥BE

∴ BE是⊙O的切线