Question

【题目】如图，已知内接于，是直径，点在上，，过点作，垂足为，连接交边于点．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）连接，设的面积为，，求四边形的面积（用含有的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据圆周角定理和垂直的定义求出∠DEO＝∠ACB，根据平行得出∠DOE＝∠ABC，根据相似三角形的判定得出即可；

（2）根据相似三角形的性质得出∠ODE＝∠A，根据圆周角定理得出∠A＝∠BDC，推出∠ODE＝∠BDC即可；

（3）根据△DOE∽△ABC求出S△ABC＝4S△DOE＝4S，由sinA=，得出，求出BE，S△BDES，则四边形BCOD的面积即可求出．

（1）证明：∵是的直径，，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）证明：∵△DOE∽△ABC，

∴∠ODE＝∠A，

∵∠A和∠BDC是弧BC所对的圆周角，

∴∠A＝∠BDC，

∴∠ODE＝∠BDC，

∴∠ODF＝∠BDE；

（3）解：连接，

由于，∴，∴．

在中，．

设，，则．

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．