Question

已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A （11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P 不与点B、C重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′和折痕OP，设BP=t。

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30 °时，求点P 的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t 的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA 上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。

Answer 1

解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90 °，OB=6 ， 在Rt △OBP 中，由∠BOP=30 °，BP=t ，得OP=2t， ∵OP2=OB2+BP2， 即（2t ）2=62+t2， 解得：t1=，t2=-（舍去）， ∴点P 的坐标为（，6）； （Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP ， ∴∠OPB ′= ∠OPB ，∠QPC ′= ∠QPC， ∵∠OPB ′+ ∠OPB+ ∠QPC ′+ ∠QPC=180 °， ∴∠OPB+ ∠QPC=90 °， ∵∠BOP+ ∠OPB=90 °， ∴∠BOP= ∠CPQ， 又∵∠OBP= ∠C=90 °， ∴△OBP ∽△PCQ， ∴， 由题意设BP=t ，AQ=m ，BC=11 ，AC=6 ，则PC=11-t ，CQ=6-m， ∴， ∴（0 ＜t ＜11 ）． （Ⅲ）过点P 作PE ⊥OA 于E ， ∴∠PEA= ∠QAC ′=90 °， ∴∠PC ′E+ ∠EPC ′=90 °， ∵∠PC ′E+ ∠QC ′A=90 °， ∴∠EPC ′= ∠QC ′A ， ∴△PC ′E ∽△C ′QA， ∴PE AC ′ =PC ′ C ′Q， ∵PC ′=PC=11-t ，PE=OB=6 ，AQ=m ，C ′Q=CQ=6-m ， ∴AC ′=， ∴， ∵m=， 解得：t1=，t2=， 点P 的坐标为（，6 ）或（，6）。