Question

（2012•烟台）（1）问题探究
如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D₁M与线段D₂N的数量关系，并加以证明．
（2）拓展延伸
①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K₁H₁，K₂H₂，分别交直线AB于点H₁，H₂，使∠AH₁K₁=∠BH₂K₂=∠ACD₁．作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分别为点M，N．D₁M=D₂N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D₁M=D₂N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）

Answer 1

分析：（1）根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D₁CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD₁M全等，根据全等三角形对应边相等可得D₁M=CH，同理可证D₂N=CH，从而得证；
（2）①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H₁AC=∠D₁CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD₁M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D₁M，同理可证CG=D₂N，从而得证；
②结论仍然成立，与①的证明方法相同．

解答：（1）D₁M=D₂N．
证明：∵∠ACD₁=90°，
∴∠ACH+∠D₁CK=180°-90°=90°，
∵∠AHK=∠ACD₁=90°，
∴∠ACH+∠HAC=90°，
∴∠D₁CK=∠HAC，
在△ACH和△CD₁M中，

∠D1CK=∠HAC ∠AHC=∠CMD1=90°  AC=CD1

，
∴△ACH≌△CD₁M（AAS），
∴D₁M=CH，
同理可证D₂N=CH，
∴D₁M=D₂N；


（2）①证明：D₁M=D₂N成立．
过点C作CG⊥AB，垂足为点G，
∵∠H₁AC+∠ACH₁+∠AH₁C=180°，
∠D₁CM+∠ACH₁+∠ACD₁=180°，
∠AH₁C=∠ACD₁，
∴∠H₁AC=∠D₁CM，
在△ACG和△CD₁M中，

∠H1AC=∠D1CM ∠AGC=∠CMD1=90° AC=CD1

，
∴△ACG≌△CD₁M（AAS），
∴CG=D₁M，
同理可证CG=D₂N，
∴D₁M=D₂N；

②作图正确．
D₁M=D₂N还成立．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，读懂题意，证明得到∠D₁CK=∠HAC（或∠H₁AC=∠D₁CM）是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点与突破口．