Question

如图，一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，且与反比例函数y=

m

x

的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于点C和点D，且点A的坐标为（5，1）△AOD的面积为10．求：
（1）反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点E，使△DCE与△ODB的面积相等？若存在，试求出点E的坐标，否则请说明理由；
（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值得x的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）把A（5，1）代入y=

m

x

求出m即可得到反比例函数解析式；再利用△AOD的面积为10可求出OD=4，从而得到D点坐标为（0，-4），然后利用待定系数法确定一次函数解析式；
（2）先解方程组

y=x-4 y= 5 x

得B点坐标为（-1，-5），则可计算出S_△ODB=2，设E点坐标为（x，0）（x＞0），再利用△DCE与△ODB的面积相等得

1

2

|x-4|•4=2，解得x=3或x=5，即E点坐标为（3，0）或（5，0）；
（3）观察函数图象得到当-1＜x＜0或x＞5时，一次函数图象都在反比例函数函数图象上方．

解答：解：（1）把A（5，1）代入y=

m

x

得m=5×1=5，
∴反比例函数解析式为y=

5

x

；
∵点A的坐标为（5，1），△AOD的面积为10，
∴

1

2

×OD×5=10，解得OD=4，
∴D点坐标为（0，-4），
把A（5，1）、D（0，-4）代入y=kx+b得

5k+b=1 b=-4

，解得

k=1 b=-4

，
∴一次函数解析式为y=x-4；
（2）存在．
解方程组

y=x-4 y= 5 x

得

x=5 y=1

或

x=-1 y=-5

，
∴B点坐标为（-1，-5），
∴S_△ODB=

1

2

×1×4=2，
设E点坐标为（x，0）（x＞0），
把y=代入y=x-4得x-4=0得x=4，则C点坐标为（4，0），
∵△DCE与△ODB的面积相等，
∴

1

2

|x-4|•4=2，
∴x=3或x=5，
∴E点坐标为（3，0）或（5，0）；
（3）当-1＜x＜0或x＞5时，一次函数的值大于反比例函数的值．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．