Question

3．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°，AC=4．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，根据圆周角定理得到∠AOC=2∠B=60°，则利用三角形内角和可计算出∠OCD=90°，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；
（2）先判断△AOC为等边三角形，则OA=AC=4，然后根据扇形面积公式和等边三角形的面积公式，利用S_阴影部分=S_扇形AOC-S_△OAC进行计算．

解答 解：（1）直线CD为⊙O的切线．理由如下：
连结OC，如图，
则∠AOC=2∠B=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-30°-60°=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴OA=AC=4，
∴S_阴影部分=S_扇形AOC-S_△OAC
=$\frac{60•π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•4²
=$\frac{8}{3}$π-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积公式．