题目内容
【题目】已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动．设运动时间为t秒，解答问题：
（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围．
【答案】（1）t=10秒；（2）存在，t=
，
或
秒；（3）
；
；
；
．
【解析】
（1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，离从而除以速度即得t的值；
（2）△APQ是等腰三角形，分为三种情形，需要分类讨论，避免漏解．如答图2、答图3、答图4所示；
（3）整个运动过程分为四个阶段，每个阶段重叠图形的形状各不相同，如答图5-答图8所示，分别求出其面积的表达式．
解：（1）∵∠NGM=900，NG=6，MG=8，，
∴由勾股定理，得NM=10．
当点G在线段AE上时，如图，
此时，GG′=MN=10．
∵△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，
∴t=10秒．
（2）存在符合条件的点P．
在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．
设∠AEB=θ，则sinθ=
，cosθ=
．
∵NE=t，∴QE=NEcosθ=t，AQ=AE-QE=20-t．
△APQ是等腰三角形，有三种可能的情形：
①AP=PQ．如答图2所示：
过点P作PK⊥AE于点K，则AK=APcosθ=t．
∵AQ=2AK，∴20-t=2×t，
解得：t=；
②AP=AQ．如答图3所示：
有t=20-t，
解得：t=；
③AQ=PQ．如答图4所示：
过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQcosθ=（20-t）×=16-
t．
∵AP=2AK，∴t=2（16-t），
解得：t=．
综上所述，当t=，或秒时，存在点P，使△APQ是等腰三角形．
由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20．
①当0＜t≤10时，线段GN与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J．
根据题意，知AP=EN=t，
由△QNE∽△GNM得
，即
∴
，∴
．
由△QHE∽△NGM得
，即
，
∴
∴
．
∴
．
若AP=AQ，则
，解得
，不存在；
若AP=PQ，则
，
∴
△＜0，无解，不存在；
若AQ=PQ，则
，无正数解，不存在．
②当10＜t≤16时，线段GN的延长线与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J．
同上，AP=EN=t，
由△QNE∽△GNM得，即，
∴∴．
由△QHE∽△NGM得
，即，
∴
∴
．
∴
．
若AP=AQ，则，解得
．
若AP=PQ，则，
∴△＜0，无解，不存在；
若AQ=PQ，则，无正数解，不存在．
综上所述，存在，使△APQ是等腰三角形．
（3）当0＜t≤7时，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△QNE的面积，
由（2）①，EN=t，
，∴
．
当7＜t≤10时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形QIFE的面积，它等于△NQE的面积减去△NIF的面积．
由（2）①，EN=t，，∴
．
过点I 作IJ⊥BC于点J，
∵EF=7，EN=t，∴
．
由△FJI∽△FBA得
，即
．
由△INJ∽△MNG得
，即
．
二式相加，得
．∴
∴
．
当10＜t≤
时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形GIFM的面积，它等于△GMN的面积减去△INF的面积．
过点I 作IH⊥BC于点H，
∵EF=7，EN=t，∴．
由△FHG∽△FBA得
，即
．
由△INH∽△MNG得
，即
．
二式相加，得
．∴．
∴
．
④当＜t≤16时时，如答图8所示：
FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t．
设GM与AF交于点I，过点I作IK⊥MN于点K．
∵tan∠IFK=
=
，∴可设IK=4x，FK=3x，则KM=3x+17-t．
∵tan∠IMF=
=
，
解得：x=
（17-t）．
∴IK=4x=
（17-t）．
∴S=
FMIK=
（t-17）2．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：；；；．
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