Question

【题目】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：由AE是小⊙O的直径，可得OA=OE，连接OF，根据切线的性质，可得OF⊥BD，然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OF∥CE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD．然后连接OD、OC，可证得△AOD≌△EOC，则可得BC=AD=CE=AE．

试题解析：

图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．

证明如下：

∵AE是小⊙O的直径，

∴OA=OE．

连接OF，

∵BD与小⊙O相切于点F，

∴OF⊥BD．

∵BD是大圆O的弦，

∴DF=BF．

∵CE⊥BD，

∴CE∥OF，

∴AF=CF．

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴AD=BC，AB=CD．

∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，

∴AE=EC．

连接OD、OC，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD．

∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，

∴∠AOC=∠EOC，

∴△AOD≌△EOC，

∴AD=CE．

∴BC=AD=CE=AE．