Question

2、如图所示，有一个正方体形的铁丝架，把它的侧棱中点I、J、K、L也用铁丝连上．
（1）现在一个蚂蚁想沿着铁丝从A点爬到G点，问最近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来（用所经过的连接点字母表示，譬如蚂蚁从A点出发，经过I点L点，最后到达H点，这样的路线用AILH表示）．
（2）蚂蚁是否可能从A点出发，沿着铁丝经过每一个连接点恰好一次，最后到达G点？如果可能，请找出一条这样的路线；如果不可能，说明为什么？

Answer 1

分析：（1）根据乘法原理来解题，从A点到G做到不重不漏，首先确定与A点相连的节点，与G点相连的节点，再向外扩展找对应点．
（2）用反证法来证明不可能．假设可能，将所有连接点染上黑、白两色，凡与黑点相邻的都是白点，凡与白点相邻的都是黑点．再通过黑白点的奇偶性来进一步验证，与假设矛盾．

解答：解：（1）一共有12条：ABCKG、ABJKG、ABJFG、ADCKG、ADLKG、ADLHG、AIJKG、AIJFG、AILKG、AILHG、AIEFG、AIEHG； 
（2）不可能．
用反证法证明．假设可能，那么将所有连接点染上黑、白两色，凡与黑点相邻的都是白点，凡与白点相邻的都是黑点．
若A是白点，则黑白点的分布如下表：
 
由于A与G都是白点，所以蚂蚁从A点出发，依次经过其它各点，到达G点的路线应为白→黑→白→黑→…→黑→白．其中有奇数个白点，这与图中共有偶数个白点相矛盾．
∴蚂蚁不可能从A点出发沿着铁丝经过每一个连接点恰好一次，最后到达G点．

点评：本题考查加法原理与乘法原理．注意蚂蚁行走顺序，做到不重不漏，本题实际上运用了排列组合中的乘法原理．