Question

如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．
（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线AB的解析式，可求得点A、B的坐标，进而可得到OA、OB的长，由于△OCD是由△OAB旋转而得，即可得到OC、OD的长，也就能求出C、D两点的坐标，然后可利用A、B、D三点的坐标，由待定系数法求得抛物线的解析式．
（2）若直线CP将△OCD分成面积相等的两部分，那么直线CP必经过线段OD的中点，可据此求得直线CP的解析式，然后联立抛物线的解析式，即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）在y=2x+4中，分别令y=0和x=0来得到：A（-2，0）、B（0，4）、
D点是因为旋转，OD=OB，所以，D点（4，0）；
C点也是因为旋转，OA=OC，所以，C点（0，2）；
设经过A、B、D的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则有：4a-2b+c=0①，c=4②，16a+4b+c=0③（3分）
解①②③得：a=-

1

2

，b=1，c=4，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x2+x+4．（4分）

（2）若存在点P满足条件，则直线CP必经过OD的中点E（2，0）；（5分）
易知经过C、E的直线为y=-x+2，（6分）
于是可设点P的坐标为P（m，-m+2）；
将P（m，-m+2）代入y=-

1

2

x2+x+4
得：-

1

2

m2+m+4=-m+2，（7分）
整理，得：m²-4m-4=0，
解得：m1=2+2

2

，m2=2-2

2

；
所以满足条件的点P有两个：P₁（2+2

2

，-2

2

），P2(2-2

2

，2

2

)．（9分）

点评：此题主要考查了图形旋转的性质、二次函数解析式的确定、三角形面积的计算方法以及函数图象交点坐标的求法等基础知识，难度适中．