题目内容
【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
，点D坐标为（3，2）（2）P1（0，2）；P2（
，﹣2）；P3（
，﹣2）（3）存在，（
），（
）
【解析】
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴
，解得：
．
∴抛物线解析式为．
当y=2时，
，解得：x1=3，x2=0（舍去）．
∴点D坐标为（3，2）．
（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，∴P1（0，2）．
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，∴P点的纵坐标为﹣2．
代入抛物线的解析式：
，解得：
．
∴P点的坐标为（，﹣2），（，﹣2）．
综上所述：P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）．
（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方．
设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（
），
①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
PQ=
．
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，
∴
，即
，解得F Q′=a﹣3
∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣（a﹣3）=3，
．
此时a=
，点P的坐标为（）．
②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，，
＜0，CQ=﹣a，（无图）
PQ=．
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°．
∴△COQ′∽△Q′FP．
∴，即
，解得F Q′=3﹣a．
∴OQ′=3，
．
此时a=﹣，点P的坐标为（）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（），（）．
（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标．
（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．
（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（），分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．
