Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交斜边AB于点D，，连接AF交BC于G，连接CF交AB于E
（1）求证：DF=EF；
（2）DE=3，FD=5，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵，∴DF=FC，∠DAF=∠FAC，AC为直径，
∴∠AFC=∠AFE=90°，
∴△AFE≌△AFC，
∴EF=FC=DF；

（2）解：∵△AFE≌△AFC，EF=FC=DF=5，∴∠FED=∠FDE=∠ACE=∠AEC，
∴△ACE∽△FED，
∴，
可求出AC=，
∴⊙O的半径为．
分析：（1）可证得△AFE≌△AFC，从而得出DF=EF；
（2）由△AFE≌△AFC得出，△ACE∽△FED，则，从而求出AC=．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．