Question

如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI．下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB-∠BOA=360°；③EB=EI；④为定值，其中正确的结论有

1. A.
   ①③④
2. B.
   ①②③
3. C.
   ①②③④
4. D.
   ①②④

Answer 1

C
分析：①利用直角三角形内切圆半径的求法解答即可；
②利用角平分线定义，三角形内角和定理，圆周角定理可得正确性；
③利用角平分线定义，外角知识可得∠EIB=∠EBI，那么EB=EI；
④过E点作角两边的垂线，可以由三角形全等及等腰直角三角形性质，得到（AB+AC）=AE，再由第（1）问，AB+AC=2（IF+R），可得④正确．
解答：①∵直角三角形内切圆半径=，
∴IF=，
∴AB+AC=BC+2IF，正确；
②∵I为△ABC的内心，
∴∠BIA=90+∠C，
∴4∠BIA=360°+2∠C，
∵∠BOA=2∠C，
∴4∠AIB-∠BOA=360°，正确；
③

∵点I是△ABC的内心，
∴∠FBI=∠ABI，∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠EBC，
∴∠EBC=∠BAD，
∴∠EBC+∠FBI=∠ABI+∠BAD
∴∠EIB=∠EBI，
∴EB=EI．③正确；
④作EN⊥AC于点N，EM⊥AB于点M，连接EC，EB，那么四边形ENAM是矩形，∠ENC=∠EMB=90°，

∵∠BAC是直角，AI平分∠BAC，
∴∠EAN=45°，
∴EN=AN，
∴四边形ENAM是正方形，
∴（AM+AN）=AE，EN=EM，
∵∠CEN+∠NEB=90°，∠NEB+∠MEB=90°，
∴∠CEN=∠BEM，
∴△CEN≌△BEM，
∴CN=BM，
∴（AB+AC）=AE，
由（1）得AB+AC=BC+2IF，
∴AB+AC=2R+2IF，
IF+R=，
∴=，
∴④正确．
故选C．
点评：本题综合考查了与圆有关的知识；用到的知识点为：直角三角形内切圆的半径为：，外接圆半径为；利用直角三角形的内切圆的圆心是内角平分线的交点作出辅助线构造全等三角形是解决本题的难点．