Question

7．方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}-2y+2=0}\\{{x}^{2}+2xy+{y}^{2}-x-y-2=0}\end{array}\right.$的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 把第二个方程变形成（x+y-2）（x+y+1）=0，即x+y-2=0或x+y+1=0，分成两种情况进行讨论，利用代入法即可求解．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}-2y+2=0…①}\\{{x}^{2}+2xy+{y}^{2}-x-y-2=0…②}\end{array}\right.$，
由②得（x+y）²-（x+y）-2=0，
即（x+y-2）（x+y+1）=0，
则x+y-2=0或x+y+1=0，
当x+y-2=0时，即x=2-y，代入①得（2-y）²+2y²-2y+2=0，即y²-2y+1=0，
解得：y=1．
把y=1代入x=2-y=2-1=1，
则方程组的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$；
当x+y+1=0时，x=-1-y，代入①得（-1-y）²+2y²-2y+2=0，即3y²+3=0，无解．
总之．方程组的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$．
故答案是：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了高次方程组的解法，解决的关键是通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．