Question

【题目】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，的平分线与轴相较于点，、两点关于轴对称．

（1）一动点从点出发，沿适当的路径运动到直线上的点，再沿适当的路径运动到点处．当的运动路径最短时，求此时点的坐标及点所走最短路径的长．

（2）点沿直线水平向右运动得点，平面内是否存在点使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点的坐标为，点所走最短路径的长为；（2）存在，点的坐标为或．

【解析】

（1）先根据直线的解析式求出点A、B的坐标，再根据直角三角形和角平分线以及对称的性质得出点C、D、E的坐标，然后利用待定系数法可求出直线BC的解析式，最后根据对称性质确定最短路径，求出直线的解析式，联立两个函数的解析式即可得；

（2）根据菱形的性质，分两种情况：BD为边和BD为对角线，然后分别利用菱形的性质、两点之间的距离公式列出等式求解即可．

（1）对于

当时，，解得，则点B的坐标为

当时，，则点A的坐标为

点为线段的中点

由点A、B的坐标得：

在中，，即

平分

在中，，即

解得

、两点关于轴对称

设直线BC的解析式为

将点代入得，解得

则直线BC的解析式为

如图，作点D关于直线BC的对称点，连接ED交BC于点F

由对称的性质、两点之间线段最短可知，点P所走最短路径的长为的长

由对称的性质可知，

过点作轴于点G

在和中，

由两点之间的距离公式得：

设直线的解析式为

将点代入得，解得

则直线的解析式为

联立，解得

则点的坐标为；

（2）存在，点的坐标的求解过程如下：

，点沿直线水平向右运动得点

可设点的坐标为，且

由菱形的性质，分以下两种情况：

①若BD为边

由菱形的定义得：

由两点之间的距离公式得：

解得或（舍去）

则点的坐标为

②若BD为对角线

由菱形的定义得：

由两点之间的距离公式得：

解得

则点的坐标为

综上，点的坐标为或．