Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．
（1）求△AOB的面积；
（2）Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．猜想AN与MB的位置关系，并证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出点P在线段AB上，进而得出S_△AOB=OA×OB=×2 PP₁×2PP₂，即可得出S_△AOB=2 PP₁×PP₂；
（2）首先求出△AON∽△MOB，再利用平行线的判定定理，得出即可．
解答：解：（1）点P在线段AB上．理由如下：
∵点O在⊙P上，且∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直径
∴点P在线段AB上．…（2分）
过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，
由题意可知PP₁、PP₂是△AOB的中位线，
∴S_△AOB=OA×OB=×2 PP₁×2PP₂=2 PP₁×PP₂
又∵P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一 点，
∴PP₁×PP₂=xy=12
∴S_△AOB=2 PP₁×PP₂=24．…（4分）

（2）猜想：AN∥MB…（1分）
如图，连接MN，则MN过点Q，且S_△MON=S_△AOB=24．
∴OA•OB=OM•ON．
∴．
又∵∠AON=∠MOB，
∴△AON∽△MOB
∴∠OAN=∠OMB
∴AN∥MB…（3分）
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及圆的相关性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，平行线的判定等知识，此题不失为丰富灵活的一道好题，难易程度--中．