Question

已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E。
（1）求∠D的度数；
（2）求证：AC²=AD·CE；
（3）求的值。

Answer 1

解：（1）如图，连接OB ∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°， ∴∠BOC=2∠BAC=90° ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=45° ∵AD∥OC， ∴∠D=∠OCB=45°； （2）证明：∵∠BAC=45°，∠D=45°， ∴∠BAC=∠D ∵AD∥OC， ∴∠ACE=∠DAC ∴△ACE∽△DAC ∴ ∴AC2=AD·CE； （3）如图，延长BO交DA的延长线于F，连接OA ∵AD∥OC， ∴∠F=∠BOC=90° ∵∠ABC=15°， ∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=30° ∵OA=OB， ∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°， ∴OF=OA ∵AD∥OC， ∴△BOC∽△BFD ∴ ∴=2， 即的值为2。