Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．

（1）线段OC的长为；
（2）求证：△CBD≌△COE；
（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1 ， 其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1 ， B1 ， D1 ， E1 ， 连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S．
①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；
②在平移过程中，当S= 时，请直接写出a的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点，

∴OC=BC= AB，

∴∠CBO=∠COB，

∵四边形OBDE是正方形，

∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，

∴∠CBD=∠COE，

在△CBD和△COE中，

，

∴△CBD≌△COE（SAS）

（3）

解：①解：过点C作CH⊥D1E1于点H，

∵C是AB边的中点，

∴点C的坐标为：（2， ）

∵点E的坐标为（a，0），1＜a＜2，

∴CH=2﹣a，

∴S= D1E1CH= ×1×（2﹣a）=﹣ a+1；

②当1＜a＜2时，S=﹣ a+1= ，

解得：a= ；

当a＞2时，同理：CH=a﹣2，

∴S= D1E1CH= ×1×（a﹣2）= a﹣1，

∴S= a﹣1= ，

解得：a= ，

综上可得：当S= 时，a= 或 ．

【解析】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），
∴OA=4，OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴AB= = ，
∵点C为边AB的中点，
∴OC= AB= ；故答案为： ．
（1）由点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），利用勾股定理即可求得AB的长，然后由点C为边AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得线段OC的长；（2）由四边形OBDE是正方形，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易得BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可证得：△CBD≌△COE；（3）①首先根据题意画出图形，然后过点C作CH⊥D1E1于点H，可求得△CD1E1的高与底，继而求得答案；
②分别从1＜a＜2与a＞2去分析求解即可求得答案． 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．