题目内容

如图，已知抛物线y=（
1
2
sin45°）x2-2x+n过原点O和x轴上另一点C，它的顶点为B，四边形AOBC是菱形，动点P、Q同时从O点出发，P沿折线OACB运动，Q沿折线OBCA运动．
（1）求出点A、点B的坐标，并求出菱形AOBC的边长；
（2）若点Q的运动速度是点P运动速度的3倍，点Q第一次运动到BC上，连接PQ交AB于点R，当AR=3
2
时，求直线PQ的解析式；
（3）若点P的运动速度是每秒2个单位长，点Q的运动速度是每秒3个单位长，运动到第一次相遇时停止．设△OPQ的面积为S，运动的时间为t，求这个运动过程中S与t之间的函数关系式，并写出当t为何值时，△OPQ的面积最大．
分析：（1）先将原点（0，0）代入抛物线的解析式y=（
1
2
sin45°）x2-2x+n中，求出n的值，再利用配方法写成顶点式，得到顶点B的坐标，然后根据菱形的性质，可知菱形AOBC的顶点A与顶点B关于x轴对称，从而求出点A的坐标，最后根据两点间的距离公式即可得到菱形AOBC的边长；
（2）设点P的运动速度为每秒v个单位长，t秒后点Q运动到边BC上，则可用含vt的代数式分别表示AP，BQ，再证明△ARP∽△BRQ，根据相似三角形对应边成比例求出vt=
8
5
，从而得到点P和点Q的坐标，然后根据待定系数法即可求出直线PQ的解析式；
（3）根据题意，首先求出点P与点Q相遇的时间为
16
5
秒，得出此时点P与点Q在AC上相遇，再分四种情况进行讨论：①0≤t≤
4
3
；②
4
3
＜t≤2，③2＜t≤
8
3
，④
8
3
＜t≤
16
5
．针对每一种情况，都需先判断点P与点Q所在的位置，再根据面积公式求出S与t之间的函数关系式，然后根据函数的性质，求出最大值．
解答：解：（1）∵抛物线y=（
1
2
sin45°）x2-2x+n过原点O，
∴n=0，
∴抛物线的解析式为y=
2
4
x2-2x．
∵y=
2
4
x2-2x=
2
4
（x-2
2
）2-2
2
，且顶点为B，
∴点B的坐标为（2
2
，-2
2
），
∵四边形AOBC是菱形，
∴点A与点B关于x轴对称，
∴点A的坐标为（2
2
，2
2
），
∴菱形AOBC的边长=
(2
2
)2+(2
2
)2
=4；

（2）在y=
2
4
x2-2x中，令y=0，得
2
4
x2-2x=0，
解得x1=0，x2=4
2
，则C（4
2
，0）．
∵OC=AB=4
2
，
∴菱形AOBC是正方形，
∴∠AOC=∠ABC=45°．
如图，设点P的运动速度为每秒v个单位长，t秒后点Q运动到边BC上．
∴OP=vt，OB+BQ=3vt，
∴AP=4-vt，BQ=3vt-4，
∵AR=3
2
，∴BR=
2
，
∵AP∥BQ，∴△ARP∽△BRQ，
∴
AR
BR
=
AP
BQ
，∴
4-vt
3vt-4
=
3
2
2
，
解得：vt=
8
5
，
∴OP=
8
5
，P（
4
2
5
，
4
2
5
），
BQ=
4
5
，Q（
12
2
5
，-
8
2
5
）．
设PQ的解析式为y=kx+b，由题意，
得：
4
2
5
k+b=
4
2
5
12
2
5
k+b=-
8
2
5
，
解得
k=-
3
2
b=2
2
，
∴PQ的解析式为：y=-
3
2
x+2
2
；

（3）∵点P的运动速度是每秒2个单位长，点Q的运动速度是每秒3个单位长，
∴点P与点Q相遇的时间为：
16
5
秒，此时点P与点Q在AC上．
分四种情况：
①当0≤t≤
4
3
时，点Q在OB上，点P在OA上，如图．
∵OP=2t，OQ=3t，∠POQ=90°，
∴S=
1
2
OP•OQ=
1
2
×2t×3t=3t2，
∵3＞0，抛物线开口向上，对称轴为t=0，
∴在对称轴的右侧，S随t的增大而增大，
∴当t=
4
3
时，S有最大值，此时S=3×
16
9
=
16
3
；
②当
4
3
＜t≤2时，点Q在BC上，点P在OA上，如图．
∵OP=2t，
∴S=
1
2
OP•OB=
1
2
×2t×4=4t，
∵4＞0，
∴S随t的增大而增大，
∴当t=2时，S有最大值，此时S=4×2=8；
③当2＜t≤
8
3
时，点Q在BC上，点P在AC上，如图．
∵OA+AP=2t，OB+BQ=3t，
∴AP=2t-4，BQ=3t-4，
∴PC=8-2t，CQ=8-3t，
∴S=S正方形OACB-S△OAP-S△OBQ-S△PCQ
=16-
1
2
×4×（2t-4）-
1
2
×4×（3t-4）-
1
2
×（8-2t）×（8-3t）
=-3t2+10t，
∵-3＜0，抛物线开口向下，对称轴为t=
-10
-6
=
5
3
，
∴在对称轴的右侧，S随t的增大而减小，
∴当2＜t≤
8
3
时，S无最大值；
④当
8
3
＜t≤
16
5
时，点Q与点P都在AC上，如图．
∵OA+AP=2t，OB+BC+CQ=3t，
∴AP=2t-4，CQ=3t-8，
∴PQ=AC-AP-CQ=4-（2t-4）-（3t-8）=16-5t，
∴S=
1
2
PQ•OA=
1
2
×（16-5t）×4=32-10t，
∵-10＜0，
∴S随t的增大而减小，
∴当
8
3
＜t≤
16
5
时，S无最大值．
综上可知，S与t之间的函数关系式为：S=
3t2(0≤t≤
4
3
)
4t(
4
3
＜t≤2)
-3t2+10t(2＜t≤
8
3
)
32-10t(
8
3
＜t≤
16
5
)
，当t为2时，△OPQ的面积最大，最大值为8．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，正方形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积的计算，函数最值的求法，综合性较强，难度较大，其中（3）能够根据点P与点Q的运动速度和方向，以及正方形的边长对t的值进行分类讨论是解题的关键和难点．
练习册系列答案
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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
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（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
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（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
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（1）求此抛物线的解析式；
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-2＜x＜0
-2＜x＜0
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（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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