Question

在平面直角坐标系中，抛物线经过A（－3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.

1.求该抛物线的解析式；

2.若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

3.该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

 

1.∵抛物线经过A（－3,0），B（4,0）两点，

∴ 

解得

∴所求抛物线的解析式为.

2.如图，依题意知AP＝t，连接DQ，

由A（－3,0），B（4,0），C（0,4），

可得AC＝5，BC＝，AB＝7.

∵BD＝BC，

∴.

∵CD垂直平分PQ，

∴QD＝DP，∠CDQ= ∠CDP.

∵BD＝BC，

∴∠DCB=∠CDB.

∴∠CDQ=∠DCB.

∴DQ∥BC. 

∴△ADQ∽△ABC.

∴.

∴.

∴.

解得 .

∴

∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为.

3.设抛物线的对称轴与x轴交于点E.

点A、B关于对称轴对称，连接BQ交该对称轴于点M.

则，即.

当BQ⊥AC时，BQ最小. 

此时，∠EBM=∠ACO.

∴.

∴.

∴，解得.

∴M（，）.

即在抛物线的对称轴上存在一点M（，），使得

MQ＋MA的值最小.

解析:1.把A、B两点坐标代入求出抛物线的解析式；

2.连接DQ，先求出△ADQ∽△ABC.得出，从而求出t的值；

3.∵MQ+MA=BM，∴只需找到B点到AC的长度最短，即过B点作BQ⊥AC，BQ最短，然后求出BQ与对称轴的交点M的坐标。