题目内容
如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴负半轴交
于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），C点坐标为（0，-3）．（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点G（2，-3）是该抛物线上一点，点E是直线AG下方的抛物线上一动点，当点E运动到什么位置时，△AEG的面积最大？求出此时E点的坐标和△AEG的最大面积；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据抛物线的对称轴方程及B点坐标，可求得A点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）可分别过E、G作x轴的垂线，设垂足为F、H；那么△AGE的面积=△AEF的面积+四边形FHGE的面积-△AGH的面积，设出E点的坐标，即可表示出F点坐标及EF的长，根据上面所得出的面积计算方法，可得出关于△AGE的面积与E点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质，即可求出△AGE的最大面积及对应的E点坐标；
（3）分两种情况讨论：
①以MN为斜边，则Q点在MN的垂直平分线上，即Q点为抛物线对称轴与x轴交点，由此可得出Q点坐标；
②以MN为直角边；设出M、N的坐标，可表示出MN的长，由于△MNQ是等腰Rt△，则MN的长与M、N的纵坐标的绝对值相同，由此可求出M、N的坐标，也就求出了Q点的坐标．
（2）可分别过E、G作x轴的垂线，设垂足为F、H；那么△AGE的面积=△AEF的面积+四边形FHGE的面积-△AGH的面积，设出E点的坐标，即可表示出F点坐标及EF的长，根据上面所得出的面积计算方法，可得出关于△AGE的面积与E点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质，即可求出△AGE的最大面积及对应的E点坐标；
（3）分两种情况讨论：
①以MN为斜边，则Q点在MN的垂直平分线上，即Q点为抛物线对称轴与x轴交点，由此可得出Q点坐标；
②以MN为直角边；设出M、N的坐标，可表示出MN的长，由于△MNQ是等腰Rt△，则MN的长与M、N的纵坐标的绝对值相同，由此可求出M、N的坐标，也就求出了Q点的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且B（3，0），
∴A（-1，0）；
可设抛物线的解析式为：y=a（x-3）（x+1），则有：
（-3）×1×a=-3，a=1；
∴y=x2-2x-3（4分）
（2）当E运动到(
，-
)时有最大面积，最大面积是
，理由如下：
过E作EF⊥x轴于F，过G作GH⊥x轴于H；
设E（x0，y0），则F（x0，0），EF=-（x02-2x0-3）
因为G（2，-3）所以GH=3
S△AEF=
y0，S△AGH=
=
S四边形FHGE=
=
所以S△AGE=S△AEF+S四边形FHGE-S△AGH=-
x02+
x0+3=-
(x0-
)2+
（6分）
当x0=
时，有最大值为
；（7分
将x0=
代入y=x2-2x-3，
得y0=-
；
所以E(
，-
)；（8分）
（3）存在，Q（1，0）或（±
，0）或（2±
，0）理由如下（9分）
因为MN平行与x轴，
所以M、N关于x=1对称
①若NQ=QM，则Q必在MN的中垂线即对称轴x=1上，所以Q（1，0）（10分）
②若QN=MN，则∠QMN=90°，设M（m1，n1）
则有：N（2-m1，n1），MN=m1-（2-m1）=2m1-2
QN=|n1|，
所以|n1|=2m1-2，其中n1=m12-2m1-3
同理若QM=MN，QM=|n1|，n1=m12-2m1-3，
综上可得|n1|=2m1-2
解得m1=
或-
或2+
或2-
；（12分）
∴Q1（
，0），Q2（-
，0），Q3（2+
，0），Q4（2-
，0）．
综上所述，存在符合条件的Q点，
且坐标为：Q1（
，0），Q2（-
，0），Q3（2+
，0），Q4（2-
，0），Q5（1，0）．
∴A（-1，0）；
可设抛物线的解析式为：y=a（x-3）（x+1），则有：
（-3）×1×a=-3，a=1；
∴y=x2-2x-3（4分）
（2）当E运动到(
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| 4 |
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过E作EF⊥x轴于F，过G作GH⊥x轴于H；
设E（x0，y0），则F（x0，0），EF=-（x02-2x0-3）
因为G（2，-3）所以GH=3
S△AEF=
| -(x0+1) |
| 2 |
| AM•MH |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
S四边形FHGE=
| (MH+EF)HF |
| 2 |
| x0y0-3x0-2y0+6 |
| 2 |
所以S△AGE=S△AEF+S四边形FHGE-S△AGH=-
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 27 |
| 8 |
当x0=
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| 8 |
将x0=
| 1 |
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得y0=-
| 15 |
| 4 |
所以E(
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（3）存在，Q（1，0）或（±
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因为MN平行与x轴，
所以M、N关于x=1对称
①若NQ=QM，则Q必在MN的中垂线即对称轴x=1上，所以Q（1，0）（10分）
②若QN=MN，则∠QMN=90°，设M（m1，n1）
则有：N（2-m1，n1），MN=m1-（2-m1）=2m1-2QN=|n1|，
所以|n1|=2m1-2，其中n1=m12-2m1-3
同理若QM=MN，QM=|n1|，n1=m12-2m1-3，
综上可得|n1|=2m1-2
解得m1=
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∴Q1（
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综上所述，存在符合条件的Q点，
且坐标为：Q1（
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点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数的应用、等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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