Question

若梯形ABCD的两条对角线垂直且与两底所围成的两个三角形的面积为p²和q²（如图），则梯形的面积为（　　）

• A、2（p²+q²）
• B、（p+q）²
• C、p²+q²+pq
• D、p²+q²+

  p2q2

  p2+q2

Answer 1

分析：过O做EF⊥AB，则EF为梯形ABCD的高，根据△COD和△AOB的面积可以求得AB、CD的值，根据AB、CD、EF的值即可计算梯形ABCD的面积，即可解题．

解答：解：令梯形ABCD为等腰梯形，
∵△COD的面积为q²，△AOB的面积为p²，
∴根据勾股定理可得：CD=2q，AB=2p，EO=q，FO=p，
∴梯形ABCD的面积为

1

2

×（2p+2q）×（p+q）=（p+q）²，
另法：由题意可知这两个三角形是相似三角形，
面积比是q²：p²，则上下底之比与两个三角形的高之比是q：p，
设上下底分别为mq，mp，两个三角形对应的高分别为nq，np，
有

mp•np

2

=p²，得mn=2
梯形面积=

(mp+mq)(np+nq)

2

=

mn(p+q)2

2

=（p+q）²，
故选 B．

点评：本题考查了梯形面积的计算，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求EF的值是解题的关键．