题目内容

如图，若梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积为4和9，则梯形的面积为________．

25
分析：设AC与BD交于点O．先由AB∥CD，得出△COD∽△AOB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再根据等高不等底的两个三角形的面积比等于其对应底边的比得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出S_△AOD=S_△COB=6，然后根据梯形ABCD的面积=S_△AOD+S_△AOB+S_△COB+S_△COD即可求解．
解答：

解：设AC与BD交于点O．
∵AB∥CD，
∴△COD∽△AOB，
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S_△AOD= $\text{[math]}$ S_△AOB= $\text{[math]}$ ×9=6，S_△COB= $\text{[math]}$ S_△COD= $\text{[math]}$ ×4=6，
∴梯形ABCD的面积=S_△AOD+S_△AOB+S_△COB+S_△COD=6+9+6+4=25．
故答案为25．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的面积，用到的知识点：相似三角形的面积比等于相似比的平方；等高不等底的两个三角形的面积比等于其对应底边的比．