Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABDE，连接AD、BE，交点为O，且OC=4

2

．
（1）求证：OC平分∠ACB；
（2）求BC的长．

Answer 1

（1）证明：延长CA到G，使AG=BC，连接GE，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB=AE，∠EAB=90°，∠EAO=∠AB0=45°，AO=BO=EO．
∴∠GAE=∠CBA，
∴∠GAE+∠EAO=∠CBA+∠ABO，
即∠GAO=∠CBO．
在△GAO和△CBO中，

AG=BC ∠GAO=∠CBO AO=BO

，
∴△GAO≌△CBO
∴GO=CO，∠AGO=∠BCO．
∴∠AGO=∠ACO．
∴∠ACO=∠BCO，
∴OC平分∠ACB；

（2）∵∠ACB=90°，OC平分∠ACB，
∴∠ACO=45°，
∴∠CGO=45°，
∴∠GOC=90．
在Rt△GOC中，由勾股定理，得
CG²=32+32，
∴CG=8，
∵AC=3，
∴AG=5，
∴BC=5．
答：BC的长5．