题目内容
在图中，把一副直角三角板ABC和EFG(其短直角边长均为4)叠放在一起(如图①)，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕点O顺时针旋转(旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②)．
(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
(2)联结HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
答案：
解析：
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(1)在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变． 证明：联结CG
∵△ABC为等腰直角三角形，O(G)为斜边AB中点， ∴CG＝BG，CG⊥AB． ∴∠ACG＝∠B＝45o， ∵∠BGH与∠CGK均为旋转角， ∴∠BGH＝∠CGK． ∴△BGH≌△CGK． 3分 ∴BH＝CK，S△BGH＝S△CGK． ∴S四边形CHGK＝S△CHG＋S△CGK＝S△CHG＋S△BGH＝ 即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化． 4分 (2)∵AC＝BC＝4，BH＝x， ∴CH＝4－x，CK＝x． 由S△GHK＝S四边形CHGK－S△CHK， 得， ∴ ∵ ∴ (3)不存在． 根据题意，得 化简，得 ∵ ∴此方程无实数根． 即不存在这样的位置，使△GKH的面积等于△ABC面积的 |
S△ABC＝
＝4．
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． 6分
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． 8分
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