Question

已知⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A，B两点，若PA•PB=24，OP=5，则⊙O的半径长为________．

Answer 1

7或1
分析：由于点P不在⊙O上，那么就是说点P在⊙O内或⊙O外两种情况考虑，①点P在⊙O内，利用相交弦定理可求⊙O半径；②点P在⊙O外，利用切割线定理可求⊙O半径．
解答：①点P在⊙O内，连接OP，分别向两边延长，与⊙O交于点C、D；
设CP=x，那么根据题意得
x（5+5+x）=PA•PB，
解得x=2（其中x=-12不合题意，舍去），
∴半径OC=OP+CP=5+2=7；

②点P在⊙O外，延长PD交⊙O于点D，PO与⊙O交于点C，
设OD=x，根据题意得
（5-x）（5+x）=PA•PB
∴25-x²=24，
解得x=1（负数不合题意，舍去），
故⊙O的半径是7或1．

点评：本题是分情况讨论，要注意每种情况结合图来解题，主要利用了相交弦定理和切割线定理．