Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm．AB=5cm，点P以1cm/s的速度从顶点C出发沿CA运动，同时点Q以同样的速度从顶点A出发沿AB运动，伴随点P、Q运动直线DE始终保持垂直平分线段PQ，点D为垂足，直线DE与BC交于点E．当点P到达顶点A时停止运动，点Q也随之停止，问动点P、Q运动多长时间，四边形QBED为直角梯形？

Answer 1

分析：四边形QBED为直角梯形，分为∠PQB=90°和∠CPQ=90°两种情况，得出三角形相似，利用相似比求t的值．

解答：解：设P、Q运动ts时，四边形QBED为直角梯形，
①当∠PQB=90°时，得DE∥QB，
则四边形QBED是直角梯形（如图1），
此时△APQ∽△ABC，
则

AQ

AC

=

AP

AB

，即

t

3

=

3-t

5

，
解得t=

9

8

；

②当∠CPQ=90°时，得PQ∥BC，
则四边形QBED是直角梯形（如图2），

此时△APQ∽△ACB，
则

AQ

AB

=

AP

AC

，即

t

5

=

3-t

3

，
解得t=

15

8

．
综上，当点P、Q运动

9

8

s或

15

8

s时，四边形QBED是直角梯形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，直角梯形的性质．关键是由直角梯形的直角的可能情况，利用平行线得相似三角形，分类求解．