Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，C、A、D三点在一条直线上，CD的延长线交O₁O₂的延长线于P，∠P=30°，O1O2=2

3

，则CD=

6

．

Answer 1

分析：作O₁E⊥CD于E，O₂F⊥CD于F，O₂H⊥O₁E于H，根据垂径定理得到AE=CE，AF=FD，则EF=

1

2

CD，且O₂H∥CD，EF=O₂H，利用平行线的性质得到∠O₁O₂H=∠P=30°，在Rt△∠O₁O₂H中，利用含30°的直角三角形三边的关系先得到O₁H=

1

2

O₁O₂=

1

2

×2

3

=

3

，再得到O₂H=

3

O₁H=3，则EF=3，于是得到CD=2EF=6．

解答：解：作O₁E⊥CD于E，O₂F⊥CD于F，O₂H⊥O₁E于H，如图，
∴AE=CE，AF=FD，
∴EF=

1

2

CD，
又∵O₂H⊥O₁E，O₁E⊥CD，O₂F⊥CD，
∴O₂H∥CD，EF=O₂H，
∴∠O₁O₂H=∠P=30°，
在Rt△∠O₁O₂H中，O₁O₂=2

3

，∠O₁O₂H=30°，
∴O₁H=

1

2

O₁O₂=

1

2

×2

3

=

3

，
O₂H=

3

O₁H=3，
∴EF=3，
∴CD=2EF=6．
故答案为6．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了含30°的直角三角形三边的关系．