如图.正方形ABCD的边长为2.动点E从点A出发.沿边AB-BC向终点C运动.以DE为边作正方形DEFG(点D.E.F.G按顺时针方向排列)．设点E运动的速度为每秒1个单位.运动的时间为x 秒．(1)如图1.当点E在AB上时.求证:点G在直线BC上,(2)设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S.求S与x之间的函数关系式,(3)直接写出整个运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB-BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x 秒．
（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；
（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．

分析（1）由正方形的性质得出AD=CD，DE=DG，∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°，证出∠ADE=∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG，得出∠DCG=∠DAE=90°，证出∠DCG+∠DCB=180°，即可得出结论；
（2）分情况讨论：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，则AC∥EK∥AD，证明△ADE∽△BEH，由相似三角形的性质得出$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BH}$，求出BH=$\frac{x（2-x）}{2}$，S=正方形ABCD的面积-△ADE的面积-△BEH的面积，即可得出结果；
②当点E在BC边上时，S=△DEC的面积=4-x；
（3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．

解答（1）证明：∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG （SAS），
∴∠DCG=∠DAE=90°，
∵∠DCB=90°，
∴∠DCG+∠DCB=180°，
∴点G在直线BC上；
（2）解：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，如图1所示：
则AC∥EK∥AD，
∴∠HEK=∠EHB，∠DEK=∠EDA，
∵∠EHB+∠BEH=90°，∠EDA+∠AED=90°，∠HEK+∠DEK=90°，
∴∠EDA=∠BEH，∠AED=∠EHB，
∴△ADE∽△BEH，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BH}$，即$\frac{2}{2-x}$=$\frac{x}{BH}$，
∴BH=$\frac{x（2-x）}{2}$，
S=正方形ABCD的面积-△ADE的面积-△BEH的面积=2×2-$\frac{1}{2}$×2×x-$\frac{1}{2}$×（2-x）×$\frac{x（2-x）}{2}$=$\frac{-{x}^{3}+4{x}^{2}-8x+16}{4}$；
②当点E在BC边上时，S=△DEC的面积=$\frac{1}{2}$×2×（4-x）=4-x；
（3）解：由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：
点F运动的路径为BF；
同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；
∵BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BF+FG=2BD=4$\sqrt{2}$，
∴点F运动的路径长为4$\sqrt{2}$．

点评本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

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