Question

如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且OB=1，OC=3，将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OAE，将△OBC沿y轴翻折得到△ODC，AE与CD交于点F．
（1）若抛物线过点A、B、C，求此抛物线的解析式；
（2）求△OAE与△ODC重叠的部分四边形ODFE的面积；
（3）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时△AMC的面积最大？最大面积是多少？求出此时点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵OB=1，OC=3，
∴C（0，-3），B（1，0）
∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，
∴A（-3，0），
所以抛物线过点A（-3，0），C（0，-3），B（1，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），可得，
解得，
故过点A，B，C的抛物线的解析式为y=x²+2x-3．

（2）∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，△OBC沿y轴翻折得到△COD，
∴E（0，-1），D（-1，0），
可求出直线AE的解析式为y=-x-1，
直线DC的解析式为y=-3x-3，
联立直线AE与直线DC的解析式：
解得：，
∵点F为直线AE与直线DC交点，
∴点F坐标为（，），
∴AD×|F_纵|=，
S_{四边形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF=-=．

（3）连接OM，AM，MC，设M点的坐标为（m，n），

∵点M在抛物线上，
∴n=m²+2m-3，
∴S_△AMC=S_△AMO+S_△OMC-S_△AOC=OA•|m|+OC•|n|-OA•OC
=-（m+n）-
=-（m+n+3）
=-（m²+3m）
=-（m+）²+，
∵0＜m＜3，
∴当m=-时，n=-，△AMC的面积有最大值，
即当点M的坐标为（）时，△AMC的面积有最大值．
分析：（1）由题意易得点A、点B、点C的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点D及点E的坐标，继而得出直线AE与直线CD的解析式，联立求出点F坐标，根据S_{四边形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF，可得出答案．
（3）连接OM，设M点的坐标为（m，n），继而表示出△AMC的面积，利用配方法确定最值，并得出点M的坐标．
点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、不规则图形的面积、两直线的交点及配方法求二次函数最值得知识，综合性较强，难点在第三问，关键是设处点M的坐标，用含m的式子表示出三角形的面积．