Question

【题目】正方形ABCD中，点E在边CD上，点P在线段AE上，且到A、B、D三个顶点的距离分别为、2、6，则四边形BCDP的面积为_____．

Answer 1

【答案】43．

【解析】

根据旋转作辅助线，构建旋转三角形，根据勾股定理的逆定理证明△BP'P是直角三角形，再得△DPG是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AD的长，根据面积差可得四边形BCDP的面积．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

将△APD绕点A顺时针旋转90°到△ABP'，连接PP'，过D作DG⊥AE于G，如图所示：

由旋转得：AP'＝AP＝，∠PAP'＝90°，P'B＝PD＝6，

∴∠AP'P＝45°，PP'＝AP＝2，

∵P'B2+P'P2＝62+22＝40，

PB2＝（2）2＝40，

∴P'B2+P'P2＝PB2，

∴∠PP'B＝90°，

∴∠AP'B＝∠APD＝90°+45°＝135°，

∴∠DPG＝45°，

∴△DPG是等腰直角三角形，

∵PD＝6，

∴PG＝DG＝PD＝3，

∴AG＝AP+PG＝+3＝4，

由勾股定理得：AD＝＝＝5，

∴四边形BCDP的面积＝S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△APB＝（5）2﹣S△AP'P﹣S△BP'P＝50﹣××﹣×6×2＝43，

故答案为：43．