Question

(2006，盐城非课改)已知：如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连结AE并延长，交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．

(1)求证：点F是BD中点；

(2)求证：CG是⊙O的切线；

(3)若FB=FE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF， ∴∵HE=EC，∴BF=FD． (2)证明：如图，连结CB、OC． ∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵F是BD中点， ∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO． ∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线． (3)解：由FC=FB=FE得∠FCE=∠FEC， 可证得FA=FG、且AB=BC． 由切割线定理得．① 在Rt△BGF中，由勾股定理得．② 由①、②得， 解之得，(舍去)， ∴， ∴⊙O的半径为．