Question

【题目】如图所示，学校准备修建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的高AM=3米，∠ABC=60°．设AE=x米（1≤x≤2），矩形EFGH的面积为S米2．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）学校准备在矩形内种植红色花草，在四个三角形内种植绿色花草．已知：红色和绿色植物的价格为200元/米2，100元/米2，当x为何值时，购买花卉所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）．

Answer 1

【答案】（1）S=-x2+6x（2）900

【解析】

（1）连接AC、BD，根据轴对称的性质，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF为等边三角形，从而求出EF．在Rt△AEM中求出EM，继而得出EH，这样即可得出S与x的函数关系式．

（2）根据（1）的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为W，则可得出W关于x的二次函数关系式，利用配方法求最值即可．

（1）连接AC、BD．

∵花坛为轴对称图形，∴EH∥BD，EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC．

又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．

同理，得到△BEF是等边三角形．

∵AB==2，∴EF=BE=AB﹣AE=（2﹣x）m．在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，则EM=AEcos∠AEM=x，∴EH=2EM=x，故可得S=x（2﹣x）=﹣x2+6x；

（2）∵菱形ABCD的面积为2×3=6，矩形EFGH的面积为﹣x2+6x，∴四个三角形的面积为6+x2﹣6x，设总费用为W，则W=200（﹣x2+6x）+100（6+x2﹣6x）

=﹣100x2+600x+600

=﹣100（x﹣）2+900．

∵1≤x≤2，∴当x=时，W取得最大值，最大值为900．

答：当x=时，购买花卉所需的总费用最低，最低总费用900．