Question

如图，一次函数y=mx+3+4m（m＜0）的图象经过定点A，与x轴交于点B，与y轴交于点E，AD⊥y轴于点D，将射线AB沿直线AD翻折，交y轴于点C．
（1）用含m的代数式分别表示点B，点E的坐标；
（2）若△ABC中AC边上的高为5，求m的值；
（3）若点P为线段AC中点，是否存在m的值，使△APD与△ABD相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵当y=0时，mx+3+4m=0，
∴x=-，
∴B（-，0）．
∵当x=0时，y=3+4m，
∴E（0，3+4m）；

（2）∵由直线y=mx+3+4m经过定点A，
∴定点A（-4，3）．
又∵AD⊥y轴，
∴D（0，3）．
由翻折可知：CD=ED=3-（4m+3）=-4m，
∴CE=2CD=-8m．
当点B在原点右边时，
S_△ABC=S_△ACE+S_△BCE=•CE•（AD+OB）
=×（-8m）×[4+（-）]=×（-8m）×（-）=12．
当点B在原点左边时，
S_△ABC=S_△ACE-S_△BCE=×（-8m）×[4-]=×（-8m）×（-）=12．
∴S_△ABC=12是不变化的．
∵AC边上的高为5，
∴AC×5=12，
∴AC=．
∵AD=4，∠ADC=90°，CD=-4m，
∴（-4m）²+4²=（）²，解得 m=±，
又∵m＜0，
∴m=-；

（3）存在m的值，使△APD与△ABD相似．
①当点B在原点右边时，只有△APD∽△ADB一种情形．
∵AP=PD，
∴AD=DB=4．
∵OD=3，∴OB=，
∴-=，解得 m=．
②当点B在原点左边时，
若△APD∽△ABD时，AB=DB，∴-=-2，解得 m=-．
若△APD∽△ADB时，AD=DB=4，
∵OD=3，
∴OB=，
∴-=-，解得m=-．
∴存在m的值，使△APD与△ABD相似，m的值为或-或-．
分析：（1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出B、E两点的坐标；
（2）由直线y=mx+3+4m经过定点A可得出定点A的坐标，再由AD⊥y轴可知D点坐标，根据图形翻折变换的性质可CD=ED，故可得出CE的长，当点B在原点右边时，S_△ABC=S_△ACE+S_△BCE=•CE•（AD+OB）可得出三角形的面积；当点B在原点左边时，S_△ABC=S_△ACE-S_△BCE可得出三角形的面积；再根据AC边上的高为5可得出AC的长，在Rt△ACD中根据勾股定理可求出m的值．
（3）①当点B在原点右边时，只有△APD∽△ADB一种情形．因为AP=PD，所以AD=DB，再由OD的长可知OB的长，故可得出m的值；
②当点B在原点左边时，若△APD∽△ABD时，AB=DB；若△APD∽△ADB时，根据AD=DB可得出m的值．
点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、图形反折变换的性质、三角形的面积公式等相关知识，难度较大．